Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 {(\frac{3}{2})}^{x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 8 {(\frac{3}{2})}^{x + h}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (x + h) = 8 (\frac{3^{x + h}}{2^{x + h}})$

Этап 2.1.2.2

Объединим $8$ и $\frac{3^{x + h}}{2^{x + h}}$ .

$f (x + h) = \frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$ .

$\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$

$f (x + h) = \frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}} - (\frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2^{x + h} \cdot 2^{x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$ на $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{x + h} \cdot 2^{x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $2^{x + h}$ на $2^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{x + h + x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Этап 4.1.3.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Умножим $\frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$ на $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{x} \cdot 2^{h + x}}}{h}$

Этап 4.1.3.4

Умножим $2^{x}$ на $2^{h + x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{x + h + x}}}{h}$

Этап 4.1.3.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x} - 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x} - 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}$ .

$\frac{\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x}) - 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}$ .

$\frac{\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x}) + 8 (- 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h}}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (3^{x + h} \cdot 2^{x}) + 8 (- 3^{x} \cdot 2^{h + x})$ .

$\frac{\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h}}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x}) \cdot 1}{2^{2 x + h} h}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h} h}$

Этап 4.4.2

Изменим порядок множителей в $\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h} h}$ .

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{h \cdot 2^{2 x + h}}$

Этап 5