Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 9$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + 9$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + 9$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + 9$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 9$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 9$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 9$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 9$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 9$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 9$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Этап 2.1.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Этап 2.1.2.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Этап 2.1.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Этап 2.1.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Этап 2.1.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 9$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 9$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 9$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + 9$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $h x$ и $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9 - (\frac{x^{2}}{2} + 9)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9 - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9 - \frac{x^{2}}{2} - 9}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $\frac{x^{2}}{2}$ из $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0 + 9 - 9}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $\frac{h^{2}}{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 9 - 9}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $\frac{h^{2}}{2} + h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Этап 4.1.8

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Этап 4.1.9

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Этап 4.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Этап 4.1.11

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Этап 4.2

Объединим $h$ и $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Этап 5