Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ , $[0, 1]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (1) - f (0)}{(1) - (0)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ в $f (1)$ и $f (0)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{1}{5} \cdot {(1)}^{5} - 3 {(1)}^{3} + 2) - (\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3} + 2)}{(1) - (0)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{5} \cdot 1 - 3 \cdot 1^{3} + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot 1^{3} + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot 1 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.5.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 - 3 \cdot 0 + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.5.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 + 0 + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 + 2)}{1 - (0)}$

Этап 3.1.7

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - 1 \cdot 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.9

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.10

Объединим $- 3$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{1}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 3 \cdot 5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{\frac{1 - 15}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.12.2

Вычтем $15$ из $1$ .

$\frac{\frac{- 14}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.13

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 14}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5} - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.14

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 14}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5} - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 14 + 2 \cdot 5}{5} - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.16.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\frac{- 14 + 10}{5} - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.16.2

Добавим $- 14$ и $10$ .

$\frac{\frac{- 4}{5} - 2}{1 - (0)}$

Этап 3.1.17

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 4}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}}{1 - (0)}$

Этап 3.1.18

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 4}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}}{1 - (0)}$

Этап 3.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 4 - 2 \cdot 5}{5}}{1 - (0)}$

Этап 3.1.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.20.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{\frac{- 4 - 10}{5}}{1 - (0)}$

Этап 3.1.20.2

Вычтем $10$ из $- 4$ .

$\frac{\frac{- 14}{5}}{1 - (0)}$

Этап 3.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{14}{5}}{1 - (0)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- \frac{14}{5}}{1 + 0}$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- \frac{14}{5}}{1}$

Этап 3.3

Разделим $- \frac{14}{5}$ на $1$ .

$- \frac{14}{5}$