Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 1)}^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {((x + h) - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(x + h - 1)}^{2}$ в виде $(x + h - 1) (x + h - 1)$ .

$f (x + h) = (x + h - 1) (x + h - 1)$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(x + h - 1) (x + h - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot - 1 + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot - 1 + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - 1 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - 1 \cdot h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.6

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.7

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.8

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - x - h - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.2.3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - x - h + 1$

Этап 2.1.2.4

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x - x + h^{2} - h - x - h + 1$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x - x + h^{2} - h - x - h + 1$

Этап 2.1.2.5

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - h - 2 x - h + 1$

Этап 2.1.2.6

Вычтем $h$ из $- h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Этап 2.1.2.7

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h - 2 x + 1 + 0 + 2 x - 1}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h - 2 x + 1 + 2 x - 1}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $h^{2} + 2 h x - 2 h$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x - 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x - 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) - 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot - 2$ .

$\frac{h (h + 2 x - 2)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x - 2)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h + 2 x - 2$ на $1$ .

$h + 2 x - 2$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$2 x + h - 2$

Этап 5