Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{2}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \cot (x)$ в виде уравнения.

$y = \cot (x)$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{π}{6})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{6})}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \cot (x)$ в $f (\frac{3 π}{2})$ и $f (\frac{π}{6})$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{π}{6}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{6})}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6})}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6})}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{π}{6})}$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π + 6 (- \frac{π}{6})}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π + 6 \frac{- π}{6}}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π + 6 \frac{- π}{6}}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

Этап 3.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен в четвертом квадранте.

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

Этап 3.4.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

Этап 3.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

Этап 3.4.5

Точное значение $\cot (\frac{π}{6})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 (0 - \sqrt{3})}{9 π - π}$

Этап 3.4.6

Вычтем $\sqrt{3}$ из $0$ .

$\frac{6 \cdot - 1 \sqrt{3}}{9 π - π}$

Этап 3.4.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (6 \sqrt{3})}{9 π - π}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3}}{9 π - π}$

Этап 3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $π$ из $9 π$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3}}{8 π}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{8 π}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 π$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 (4 π)}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 (4 π)}$

Этап 3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{4 π}$

Этап 3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$

Десятичная форма:

$- 0.41349667 \dots$