Основы мат. анализа Примеры

$- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 1

Запишем $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 ((x + h) (x + h))$

Этап 3.1.2.1.6

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 3.1.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 3.1.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.1.7.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.1.7.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.1.7.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Этап 3.1.2.1.9

Умножим $2$ на $4$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Этап 3.2.2

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Этап 3.2.3

Перенесем $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Этап 3.2.4

Перенесем $8 h x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Этап 3.2.5

Перенесем $- 2 x^{3}$ .

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Этап 3.2.6

Перенесем $- 6 h x^{2}$ .

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Этап 3.2.7

Изменим порядок $- 6 h^{2} x$ и $- 2 h^{3}$ .

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3} + 4 x^{2})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3}) - (4 x^{2})}{h}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - (4 x^{2})}{h}$

Этап 5.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 0 - 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.5

Добавим $- 2 h^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.6

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 0}{h}$

Этап 5.1.7

Добавим $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ и $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Этап 5.1.8

Вынесем множитель $2 h$ из $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $2 h$ из $- 2 h^{3}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Этап 5.1.8.2

Вынесем множитель $2 h$ из $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Этап 5.1.8.3

Вынесем множитель $2 h$ из $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Этап 5.1.8.4

Вынесем множитель $2 h$ из $4 h^{2}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 8 h x}{h}$

Этап 5.1.8.5

Вынесем множитель $2 h$ из $8 h x$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Этап 5.1.8.6

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Этап 5.1.8.7

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Этап 5.1.8.8

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Этап 5.1.8.9

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$ на $1$ .

$2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- h^{2}) + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 h^{2} + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Этап 5.3.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Этап 5.3.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Этап 5.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 2 (4 x)$

Этап 5.3.5

Умножим $4$ на $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

Этап 5.4

Перенесем $h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

Этап 5.5

Перенесем $4 h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 8 x + 4 h$

Этап 5.6

Перенесем $- 2 h^{2}$ .

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

Этап 5.7

Изменим порядок $- 6 x h$ и $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

Этап 6