Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 {(2)}^{2 x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 6 {(2)}^{2 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 6 \cdot 2^{2 x + 2 h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $6 \cdot 2^{2 x + 2 h}$ .

$6 \cdot 2^{2 x + 2 h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 6 \cdot 2^{2 x + 2 h}$

$f (x) = 6 \cdot 2^{2 x}$

$f (x + h) = 6 \cdot 2^{2 x + 2 h}$

$f (x) = 6 \cdot 2^{2 x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{6 \cdot 2^{2 x + 2 h} - (6 \cdot 2^{2 x})}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{6 \cdot 2^{2 x + 2 h} - 6 \cdot 2^{2 x}}{h}$

Этап 4.2

Перепишем $6 \cdot 2^{2 x + 2 h} - 6 \cdot 2^{2 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 2^{2 x + 2 h} - 6 \cdot 2^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 2^{2 x + 2 h}$ .

$\frac{6 \cdot 2^{2 x + 2 h} - 6 \cdot 2^{2 x}}{h}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \cdot 2^{2 x}$ .

$\frac{6 \cdot 2^{2 x + 2 h} + 6 (- 2^{2 x})}{h}$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 2^{2 x + 2 h} + 6 (- 2^{2 x})$ .

$\frac{6 (2^{2 x + 2 h} - 2^{2 x})}{h}$

Этап 4.2.2

Перепишем $2^{2 x + 2 h}$ в виде ${(2^{x + h})}^{2}$ .

$\frac{6 ({(2^{x + h})}^{2} - 2^{2 x})}{h}$

Этап 4.2.3

Перепишем $2^{2 x}$ в виде ${(2^{x})}^{2}$ .

$\frac{6 ({(2^{x + h})}^{2} - {(2^{x})}^{2})}{h}$

Этап 4.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2^{x + h}$ и $b = 2^{x}$ .

$\frac{6 (2^{x + h} + 2^{x}) (2^{x + h} - 2^{x})}{h}$

Этап 5