Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 \sqrt{x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 3 \sqrt{x + h}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 3 \sqrt{x + h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $3 \sqrt{x + h}$ .

$3 \sqrt{x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 3 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 3 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 3 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 3 \sqrt{x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 \sqrt{x + h} - (3 \sqrt{x})}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \sqrt{x}}{h}$

Этап 4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Этап 4.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (3 x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Этап 4.4

Пусть $u = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $3$ из $3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u$ .

$\frac{3 (u) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (u) + 3 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (u) + 3 (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{3 (u - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Этап 4.6

Заменим все вхождения $u$ на ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Этап 5