Основы мат. анализа Примеры

What is the average rate of change of $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

Этап 1

Запишем $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2}{x + 3}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{2}{x + 3}$ в $f (3)$ и $f (1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(3 + 3) (1 + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ на $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ .

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $1 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{1 + 3}$ в числитель.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $1 + 3$ из $(3 + 3) (1 + 3)$ .

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.4.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.4.4

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.4.5

Вычтем $12$ из $8$ .

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.5.3

Умножим $6 \cdot 4 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $24$ на $3$ .

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.5.4

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

Этап 3.5.6

Умножим $6 \cdot 4 (- (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

Этап 3.5.6.3

Умножим $24$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{72 - 24}$

Этап 3.5.7

Вычтем $24$ из $72$ .

$\frac{- 4}{48}$

Этап 3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{48}$

Этап 3.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Этап 3.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Этап 3.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{12}$

Этап 3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$