Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 4}{x}$ ; $[2, 8]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x - 4}{x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x - 4}{x}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (8) - f (2)}{(8) - (2)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{x - 4}{x}$ в $f (8)$ и $f (2)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{(8) - 4}{8}) - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $(8) - 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\frac{4 (2) - 4}{8} - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 + 4 \cdot - 1}{8} - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 2 + 4 \cdot - 1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (2 - 1)}{8} - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (2 - 1)}{4 (2)} - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{4 \cdot (2 - 1)}{4 \cdot 2} - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - (\frac{(2) - 4}{2})}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $(2) - 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - \frac{2 \cdot 1 - 4}{2}}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 2}{2}}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - \frac{2 \cdot (1 - 2)}{2}}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - \frac{2 \cdot (1 - 2)}{2 (1)}}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - \frac{2 \cdot (1 - 2)}{2 \cdot 1}}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - \frac{1 - 2}{1}}{(8) - (2)}$

Этап 3.1.2.4.4

Разделим $1 - 2$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 - 1}{2} - (1 - 2)}{(8) - (2)}$

Этап 3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{\frac{2 - 1}{2} - (1 - 2)}{8 - (2)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{2 - 1}{2} - (1 - 2)}{8 - (2)}$

Этап 3.2.2

Объединим.

$\frac{2 (\frac{2 - 1}{2} - (1 - 2))}{2 (8 - (2))}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{2 - 1}{2} + 2 (- (1 - 2))}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{2 - 1}{2} + 2 (- (1 - 2))}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 1 + 2 (- (1 - 2))}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2 - 1 + 2 (- - 1)}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.5.2

Умножим $2 (- - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 1 + 2 \cdot 1}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 - 1 + 2}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8 + 2 (- (2))}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{3}{16 + 2 (- (2))}$

Этап 3.6.2

Умножим $2 (- (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{16 + 2 \cdot - 2}$

Этап 3.6.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{3}{16 - 4}$

Этап 3.6.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$\frac{3}{12}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{12}$

Этап 3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Этап 3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$