Основы мат. анализа Примеры

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 1

Запишем $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{f ((x + h) + h) - f (x + h)}{h}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Вынесем множитель $f$ из $f (x + h + h) - f (x + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $f$ из $- f (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h) + f (- 1 (x + h))}{h}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $f$ из $f (x + h + h) + f (- 1 (x + h))$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - 1 (x + h))}{h}$

Этап 3.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - 1 x - 1 h)}{h}$

Этап 3.1.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - x - 1 h)}{h}$

Этап 3.1.2.1.4

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - x - h)}{h}$

Этап 3.1.2.1.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (x + h) = \frac{f (h + h + 0 - h)}{h}$

Этап 3.1.2.1.6

Добавим $h$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{f (2 h + 0 - h)}{h}$

Этап 3.1.2.1.7

Добавим $2 h$ и $0$ .

$f (x + h) = \frac{f (2 h - h)}{h}$

Этап 3.1.2.1.8

Вычтем $h$ из $2 h$ .

$f (x + h) = \frac{f h}{h}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{f h}{h}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $f$ на $1$ .

$f (x + h) = f$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $f$ .

$f$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f x + f h - f (x)}{h}$

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f x + f h - f (x)}{h}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{f - (\frac{f x + f h - f (x)}{h})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $f$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h}{h}$ .

$\frac{\frac{f h}{h} - \frac{f x + f h - f (x)}{h}}{h}$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{f h - (f x + f h - f (x))}{h}}{h}$

Этап 5.1.3

Перепишем $\frac{f h - (f x + f h - f (x))}{h}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{f h - (f x) - (f h) - - f (x)}{h}}{h}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $- - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{f h - f x - f h + 1 f (x)}{h}}{h}$

Этап 5.1.3.2.2

Умножим $f (x)$ на $1$ .

$\frac{\frac{f h - f x - f h + f (x)}{h}}{h}$

Этап 5.1.3.3

Вычтем $f h$ из $f h$ .

$\frac{\frac{- f x + 0 + f (x)}{h}}{h}$

Этап 5.1.3.4

Добавим $- f x$ и $0$ .

$\frac{\frac{- f x + f (x)}{h}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- f x + f (x)}{h} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{- f x + f (x)}{h} \cdot \frac{1}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{- f x + f (x)}{h}$ на $\frac{1}{h}$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h \cdot h}$

Этап 5.3.2

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1} h}$

Этап 5.3.3

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1} h^{1}}$

Этап 5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1 + 1}}$

Этап 5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{2}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- f x$ .

$\frac{- (f x) + f (x)}{h^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $f (x)$ .

$\frac{- (f x) - 1 (- f (x))}{h^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (f x) - 1 (- f (x))$ .

$\frac{- (f x - f (x))}{h^{2}}$

Этап 5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем $- (f x - f (x))$ в виде $- 1 (f x - f (x))$ .

$\frac{- 1 (f x - f (x))}{h^{2}}$

Этап 5.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{f x - f (x)}{h^{2}}$

Этап 6