Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x \ln (x)$ в виде уравнения.

$y = 3 x \ln (x)$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = 3 x \ln (x)$ в $f (e^{2})$ и $f (1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.5

Умножим $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.7

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.1.8

Добавим $6 e^{2}$ и $0$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$