Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{x^{2}}{4} + 7$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Объединим $7$ и $\frac{4}{4}$ .

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$g (x + h) = \frac{(x + h) (x + h) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + h) = \frac{x (x + h) + h (x + h) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + h) = \frac{x \cdot x + x h + h (x + h) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + h) = \frac{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $7$ на $4$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$ .

$\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{4} + 7$

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{4} + 7$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4} - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4} - \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2}}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим $- 7$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2}}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2} - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Этап 4.1.7

Перепишем $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2} - 7 \cdot 4}{4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 7$ на $4$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2} - 28}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2} + 28 + 0 - 28}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.3

Добавим $2 h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вычтем $28$ из $28$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2} + 0}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.5

Добавим $2 h x + h^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2}}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.6

Вынесем множитель $h$ из $2 h x + h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.6.1

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.6.2

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{4}}{h}$

Этап 4.1.7.6.3

Вынесем множитель $h$ из $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{4}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (2 x + h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (2 x + h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + h}{4}$

Этап 5