Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{4} - 2 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Этап 2.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.1.5

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

Этап 2.2.3

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

Этап 2.2.4

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

Этап 2.2.5

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3}$

Этап 2.2.6

Перенесем $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3}$

Этап 2.2.7

Перенесем $- 6 h x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 6 h^{2} x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2.2.9

Перенесем $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2.2.10

Перенесем $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2.2.11

Перенесем $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2.2.12

Изменим порядок $4 h^{3} x$ и $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - (x^{4} - 2 x^{3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - x^{4} - (- 2 x^{3})}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - x^{4} + 2 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{4}$ из $x^{4}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 0 + 2 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{4}$ и $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{4}$ .

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $4 h^{3} x$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $6 h^{2} x^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $4 h x^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7.6

Вынесем множитель $h$ из $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) - 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.7.7

Вынесем множитель $h$ из $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.7.8

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.7.9

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.7.10

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.7.11

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (- 2 h^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.7.12

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2}) + h (- 6 h x)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.7.13

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2})}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$ на $1$ .

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h^{2}$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $h$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2}$

Этап 4.2.2.4

Перенесем $- 2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2}$

Этап 4.2.2.5

Перенесем $- 6 x h$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

Этап 4.2.2.6

Перенесем $h^{3}$ .

$4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $4 x h^{2}$ .

$6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

Этап 4.2.2.8

Изменим порядок $6 x^{2} h$ и $4 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

Этап 5