Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 e^{x}$ в виде уравнения.

$y = 4 e^{x}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = 4 e^{x}$ в $f (2)$ и $f (- 2)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $4 e^{2}$ в виде ${(2 e)}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.2

Перепишем $4 e^{- 2}$ в виде ${(2 e^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 e$ и $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e + 2 e^{- 1}$ .

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.7

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.7.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.8.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.9

Чтобы записать $2 e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.11

Умножим $2 e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.11.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.11.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1

Объединим $2$ и $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.12.2

Умножим $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ на $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.12.3

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.12.4

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.12.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.12.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

Этап 3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $e^{2} \cdot 4$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Этап 3.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Этап 3.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $2 e^{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $e^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Этап 3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

Этап 3.4.4

Умножим $e^{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

Этап 3.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$