Основы мат. анализа Примеры

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Этап 1

Запишем $f (t) = t^{- 3}$ в виде уравнения.

$y = t^{- 3}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $t$ этих двух точек.

$\frac{f (8) - f (\frac{1}{2})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = t^{- 3}$ в $f (8)$ и $f (\frac{1}{2})$ , заменив $t$ в функции соответствующим значением $t$ .

$\frac{({(8)}^{- 3}) - ({(\frac{1}{2})}^{- 3})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{2 (8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 (8 - \frac{1}{2})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{8^{3}} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{512} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $512$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 (256)} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.4

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- 2^{3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.5

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Перенесем $2^{3}$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.5.2

Умножим $2^{3}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3 + 1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{4} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 16 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.7

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{256} - 16}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.8

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{1}{256} - 16 \cdot \frac{256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.9

Объединим $- 16$ и $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{1}{256} + \frac{- 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Умножим $- 16$ на $256$ .

$\frac{\frac{1 - 4096}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.11.2

Вычтем $4096$ из $1$ .

$\frac{\frac{- 4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{- \frac{4095}{256}}{16 - 1}$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$\frac{- \frac{4095}{256}}{15}$

Этап 3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4095}{256}$ в числитель.

$\frac{- 4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $15$ из $- 4095$ .

$\frac{15 (- 273)}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Этап 3.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \cdot - 273}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Этап 3.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 273}{256}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{273}{256}$