Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{x^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{3}{x^{3}}$ на $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в ${(x + h)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 {(x + h)}^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.6

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.7

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.8.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.8.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.8.2.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.8.2.2

Добавим $x h$ и $x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.9

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.10

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.11

Добавим $x h$ и $2 x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ .

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Этап 5