Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h) + 8}{(x + h) - 3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ .

$\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} - (\frac{x + 8}{x - 3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{x + 8}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 3) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{x + 8}{x - 3}$ на $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(x + h + 8) (x - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 \cdot x + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Перенесем $- 3$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 \cdot h + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.4

Умножим $8$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 h + 8 x - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Добавим $- 3 x$ и $8 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 1 \cdot 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Развернем $(- x - 8) (x + h - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.3

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Вычтем $8 x$ из $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 + 0 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $5 x$ и $0$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$\frac{\frac{h x - 3 h - 24 - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.12.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + x h - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Добавим $- 3 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.14

Добавим $- 3 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.15

Вычтем $8 h$ из $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- 11 h - 24 + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.16

Добавим $- 24$ и $24$ .

$\frac{\frac{- 11 h + 0}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.17

Добавим $- 11 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ в числитель.

$\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 11 h$ .

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Этап 5