Основы мат. анализа Примеры

$y = {(x + 2)}^{2}$

Этап 1

Запишем $y = {(x + 2)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {((x + h) + 2)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x + h + 2)}^{2}$ в виде $(x + h + 2) (x + h + 2)$ .

$f (x + h) = (x + h + 2) (x + h + 2)$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x + h + 2) (x + h + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 3.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 3.1.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 3.1.2.3.3

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 3.1.2.3.4

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 \cdot h + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Этап 3.1.2.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Этап 3.1.2.4

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Этап 3.1.2.4.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Этап 3.1.2.5

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 4 x + 2 h + 4$

Этап 3.1.2.6

Добавим $2 h$ и $2 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4}{h}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{h}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 4}{h}$

Этап 5.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 + 0 - 4 x - 4}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 - 4 x - 4}{h}$

Этап 5.1.5

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 - 4}{h}$

Этап 5.1.7

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0}{h}$

Этап 5.1.8

Добавим $h^{2} + 2 h x + 4 h$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h}{h}$

Этап 5.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x + 4 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 4 h}{h}$

Этап 5.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 4 h}{h}$

Этап 5.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $4 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 4}{h}$

Этап 5.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 4}{h}$

Этап 5.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot 4$ .

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $h + 2 x + 4$ на $1$ .

$h + 2 x + 4$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$2 x + h + 4$

Этап 6