Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ for $3 \leq x \leq 6$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ в $f (6)$ и $f (3)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{1}{6} - {(6)}^{2} - 2) - (\frac{1}{3} - {(3)}^{2} - 2)}{(6) - (3)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{6 (\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 (6 - (3))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $6$ на $6^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перенесем $6^{2}$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $6^{2}$ на $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Возведем $6$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6^{1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + 6^{2 + 1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1 + 6^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1 + 216 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.3

Умножим $216$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 216 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.4

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 1 \cdot 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.5.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.6

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Запишем $- 9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.6.3

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.6.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.6.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.6.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 9 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.8.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.9

Вычтем $27$ из $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 26 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.10

Вычтем $6$ из $- 26$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{- 32}{3}$ в числитель.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (\frac{32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.11.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 (2) \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.11.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 \cdot 2 \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.11.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 216 - 12 + 2 \cdot 32}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.12

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.13

Вычтем $216$ из $1$ .

$\frac{- 215 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.14

Вычтем $12$ из $- 215$ .

$\frac{- 227 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.4.15

Добавим $- 227$ и $64$ .

$\frac{- 163}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 (- (3))}$

Этап 3.5.2

Умножим $6 (- (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 \cdot - 3}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{- 163}{36 - 18}$

Этап 3.5.3

Вычтем $18$ из $36$ .

$\frac{- 163}{18}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{163}{18}$