Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + x + h$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + x + h$

Этап 2.1.2.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x + h$

Этап 2.2.3

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + h + x$

Этап 2.2.4

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + h + x$

Этап 2.2.5

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

Этап 2.2.6

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

$f (x) = x^{3} + x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

$f (x) = x^{3} + x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x - (x^{3} + x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x - x^{3} - x}{h}$

Этап 4.1.2

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h + x + 0 - x}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h + x - x}{h}$

Этап 4.1.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h + 0}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h}{h}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + h}{h}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h}{h}$

Этап 4.1.6.4

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h^{1}}{h}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.6.6

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.6.7

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.6.8

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1$ на $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 1$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 1$

Этап 4.2.2.3

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 1$

Этап 5