Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ ;, $[2, \frac{7}{3}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = - x^{2} - x + 1$ в виде уравнения.

$y = - x^{2} - x + 1$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{7}{3}) - f (2)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = - x^{2} - x + 1$ в $f (\frac{7}{3})$ и $f (2)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(- {(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{7}{3}) + 1) - (- {(2)}^{2} - (2) + 1)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3} - (2))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{3}$ в числитель.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{7^{2}}{3^{2}}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7^{2}}{3^{2}}$ в числитель.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3^{2}} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 7^{2}}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.4

Умножим $- 1$ на $49$ .

$\frac{\frac{- 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 1 \cdot 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.7.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - 2 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.8

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 6 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.9

Добавим $- 6$ и $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- - 5)}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.10

Умножим $3 (- - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 \cdot 5}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.10.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.11

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.12

Объединим $- 7$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 49 - 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.14.1

Умножим $- 7$ на $3$ .

$\frac{\frac{- 49 - 21}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.14.2

Вычтем $21$ из $- 49$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.15

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.16

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 70 + 3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.18.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{- 70 + 9}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.18.2

Добавим $- 70$ и $9$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.19

Чтобы записать $15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.20

Объединим $15$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 61 + 15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.22.1

Умножим $15$ на $3$ .

$\frac{\frac{- 61 + 45}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.22.2

Добавим $- 61$ и $45$ .

$\frac{\frac{- 16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.4.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3 (- (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 \cdot - 2}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 - 6}$

Этап 3.5.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{1}$

Этап 3.6

Разделим $- \frac{16}{3}$ на $1$ .

$- \frac{16}{3}$