Основы мат. анализа Примеры

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$d (t + h) = 0.8 {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(t + h)}^{2}$ в виде $(t + h) (t + h)$ .

$d (t + h) = 0.8 ((t + h) (t + h))$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(t + h) (t + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d (t + h) = 0.8 (t (t + h) + h (t + h))$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Этап 2.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 0.8 (2 h t) + 0.8 h^{2}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $2$ на $0.8$ .

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$ .

$0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $0.8 t^{2}$ .

$1.6 h t + 0.8 h^{2} + 0.8 t^{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $1.6 h t$ и $0.8 h^{2}$ .

$0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - (0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перенесем $h$ .

$\frac{0.8 h^{2} + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $0.8 h^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $0.2$ из $1.6 t h$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $0.2$ из $0.8 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $0.2$ из $- 1 \cdot 0.8 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.1.6

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h)$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.1.7

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.1.8

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $4 h^{2}$ в виде ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $4 t^{2}$ в виде ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 t h = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t)$

Этап 4.1.2.4

Перепишем многочлен.

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t) + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 h$ и $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Этап 4.1.3

Перепишем $5 \cdot 0.8 t^{2}$ в виде ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - {(2 t)}^{2})}{h}$

Этап 4.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 h + 2 t$ и $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 t + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 h + 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 h$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 (2 t)) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 h + 2 (2 t)$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t))}{h}$

$\frac{0.2 \cdot 2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Этап 4.1.6

Умножим $0.2$ на $2$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $2 t$ из $2 t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0 t)}{h}$

Этап 4.1.8

Умножим $0$ на $t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0)}{h}$

Этап 4.1.9

Добавим $2 h$ и $0$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) \cdot 2 h}{h}$

Этап 4.1.10

Умножим $2$ на $0.4$ .

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $0.8 (h + 2 t)$ на $1$ .

$0.8 (h + 2 t)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0.8 h + 0.8 (2 t)$

Этап 4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $2$ на $0.8$ .

$0.8 h + 1.6 t$

Этап 4.2.3.2

Изменим порядок $0.8 h$ и $1.6 t$ .

$1.6 t + 0.8 h$

Этап 5