Основы мат. анализа Примеры

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$g (t + h) = {(t + h)}^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - (t^{3} + 3 t^{2} h + 3 t h^{2} + h^{3}) + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - (3 t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - 3 (t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.5

Избавимся от скобок.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.6

Перепишем ${(t + h)}^{2}$ в виде $(t + h) (t + h)$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + (t + h) (t + h)$

Этап 2.1.2.1.7

Развернем $(t + h) (t + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t (t + h) + h (t + h)$

Этап 2.1.2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h (t + h)$

Этап 2.1.2.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h t + h \cdot h$

Этап 2.1.2.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.8.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h \cdot h$

Этап 2.1.2.1.8.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h^{2}$

Этап 2.1.2.1.8.2

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.8.2.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + h t + h t + h^{2}$

Этап 2.1.2.1.8.2.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$ .

$t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.2.2

Перенесем $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.2.3

Перенесем $t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.2.4

Перенесем $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.2.5

Перенесем $t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Этап 2.2.6

Перенесем $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + 2 h t + h^{2} + t^{2}$

Этап 2.2.7

Перенесем $2 h t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.8

Перенесем $- t^{3}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.9

Перенесем $- 3 h t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h^{2} t - h^{3} - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.10

Перенесем $- 3 h^{2} t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.11

Перенесем $t^{4}$ .

$4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.12

Перенесем $4 h t^{3}$ .

$6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.13

Перенесем $6 h^{2} t^{2}$ .

$4 h^{3} t + h^{4} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.2.14

Изменим порядок $4 h^{3} t$ и $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - (t^{4} - t^{3} + t^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} - - t^{3} - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- - t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + 1 t^{3} - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $t^{3}$ на $1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + t^{3} - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $t^{4}$ из $t^{4}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 + t^{3} - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{4}$ и $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + t^{3} - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- t^{3}$ и $t^{3}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{4}$ и $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{2}}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ и $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{4}$ .

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $4 h^{3} t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $6 h^{2} t^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $4 h t^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $- h^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.6

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{2} t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.7

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h t^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h^{2} + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.8

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + 2 h t}{h}$

Этап 4.1.9.9

Вынесем множитель $h$ из $2 h t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.10

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3}) + h (4 h^{2} t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.11

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.12

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.13

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.14

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.15

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.16

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)}{h}$

Этап 4.1.9.17

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$ на $1$ .

$h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h^{2}$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + h + 2 t$

Этап 4.2.2.4

Перенесем $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + 2 t + h$

Этап 4.2.2.5

Перенесем $- h^{2}$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t h - 3 t^{2} - h^{2} + 2 t + h$

Этап 4.2.2.6

Перенесем $- 3 t h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $h^{3}$ .

$4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Этап 4.2.2.8

Перенесем $4 t h^{2}$ .

$6 t^{2} h + 4 t^{3} + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Этап 4.2.2.9

Изменим порядок $6 t^{2} h$ и $4 t^{3}$ .

$4 t^{3} + 6 t^{2} h + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Этап 5