Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x + h - 3}{x + h}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{x + h - 3}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{x - 3}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{x + h - 3}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{x - 3}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Развернем $(- x + 3) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.9.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $- 3 x$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Добавим $0$ и $3 h$ .

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $3 h$ .

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x (x + h)}$

Этап 5