Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 e^{x}$ в виде уравнения.

$y = 6 e^{x}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = 6 e^{x}$ в $f (3)$ и $f (- 3)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.3

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.5

Чтобы записать $6 e^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.7

Умножим $e^{3}$ на $e^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перенесем $e^{3}$ .

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.1.7.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

Этап 3.2.2

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

Этап 3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $6 e^{6} - 6$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 e^{6}$ .

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $e^{3} \cdot 6$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Этап 3.4.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Этап 3.4.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $e^{6}$ в виде ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

Этап 3.5.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = e^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Этап 3.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Этап 3.5.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Этап 3.5.4.3

Умножим $e^{2}$ на $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Этап 3.5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Этап 3.5.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Этап 3.5.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$