Основы мат. анализа Примеры

What is the average rate of change of $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ over the interval $5 \leq x \leq 8$ ?

Этап 1

Запишем $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{10 - x}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (8) - f (5)}{(8) - (5)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{1}{10 - x}$ в $f (8)$ и $f (5)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{1}{10 - (8)}) - (\frac{1}{10 - (5)})}{(8) - (5)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(10 - (8)) (10 - (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$ на $\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)} \cdot \frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (8 - (5))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{10 - (8)} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $10 - 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{(10 - (8)) \cdot 1} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $10 - 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{10 - (5)}$ в числитель.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $10 - 1 \cdot 5$ из $(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.2.3

Умножим на $1$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{10 - 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.4.2

Вычтем $8$ из $10$ .

$\frac{10 - 5 + 2 \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{10 - 5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.4.4

Вычтем $5$ из $10$ .

$\frac{5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.4.5

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{3}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{3}{(10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.2

Вычтем $8$ из $10$ .

$\frac{3}{2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3}{2 (10 - 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.4

Вычтем $5$ из $10$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.5

Умножим $2 \cdot 5 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3}{10 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $10$ на $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.6

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.7

Вычтем $8$ из $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Этап 3.5.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 5) (- (5))}$

Этап 3.5.9

Вычтем $5$ из $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 \cdot 5 (- (5))}$

Этап 3.5.10

Умножим $2 \cdot 5 (- (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.10.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 (- (5))}$

Этап 3.5.10.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 \cdot - 5}$

Этап 3.5.10.3

Умножим $10$ на $- 5$ .

$\frac{3}{80 - 50}$

Этап 3.5.11

Вычтем $50$ из $80$ .

$\frac{3}{30}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $3$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{30}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10}$