Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.3.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.5

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 ((x + h) (x + h)) + x + h$

Этап 2.1.2.2.6

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Этап 2.1.2.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Этап 2.1.2.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Этап 2.1.2.2.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Этап 2.1.2.2.7.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Этап 2.1.2.2.7.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.7.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Этап 2.1.2.2.7.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Этап 2.1.2.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.9

Умножим $2$ на $7$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$ .

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Этап 2.2.3

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + h + x$

Этап 2.2.4

Перенесем $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + h + x$

Этап 2.2.5

Перенесем $14 h x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Этап 2.2.6

Перенесем $- 2 x^{3}$ .

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Этап 2.2.7

Перенесем $- 6 h x^{2}$ .

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Этап 2.2.8

Изменим порядок $- 6 h^{2} x$ и $- 2 h^{3}$ .

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - (- 2 x^{3} + 7 x^{2} + x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - (- 2 x^{3}) - (7 x^{2}) - x}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 2 x^{3} - (7 x^{2}) - x}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 2 x^{3} - 7 x^{2} - x}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 0 - 7 x^{2} - x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 2 h^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - 7 x^{2} - x}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $7 x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- 2 h^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + x - x}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h$ и $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h^{3}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $7 h^{2}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + 14 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $14 h x$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h}{h}$

Этап 4.1.9.6

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h^{1}}{h}$

Этап 4.1.9.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.8

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.9

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.10

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}) + h (7 h)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.11

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h) + h (14 x)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.12

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$ на $1$ .

$- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $7 h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $- 2 h^{2}$ .

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Этап 4.2.2.4

Изменим порядок $- 6 x h$ и $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Этап 5