Основы мат. анализа Примеры

$S (t) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t})$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$S (t + h) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$S (t + h) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2.2

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h)}{6 + t + h} - \frac{7}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h) - 7}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 (6 + t + h) - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h) + 7 (- 1)}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2.4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7 (6 + t + h) + 7 (- 1)$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h - 1)}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2.4.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h})$

Этап 2.1.2.5

Умножим $155 \frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Объединим $155$ и $\frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ .

$S (t + h) = \frac{155 (7 (t + h + 5))}{6 + t + h}$

Этап 2.1.2.5.2

Умножим $7$ на $155$ .

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ .

$\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

$S (t) = \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

$S (t) = \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{S (t + h) - S t}{h} = \frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} - (\frac{1085 (t + 5)}{6 + t})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 + t}{6 + t}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} \cdot \frac{6 + t}{6 + t} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} \cdot \frac{6 + t}{6 + t} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t} \cdot \frac{6 + t + h}{6 + t + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(6 + t + h) (6 + t)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ на $\frac{6 + t}{6 + t}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t + h) (6 + t)} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t} \cdot \frac{6 + t + h}{6 + t + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$ на $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t + h) (6 + t)} - \frac{1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(6 + t + h) (6 + t)$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t) (6 + t + h)} - \frac{1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $1085$ из $1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $1085$ из $1085 (t + h + 5) (6 + t)$ .

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t)) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $1085$ из $- 1085 (t + 5) (6 + t + h)$ .

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t)) + 1085 (- (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $1085$ из $1085 ((t + h + 5) (6 + t)) + 1085 (- (t + 5) (6 + t + h))$ .

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t) - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(t + h + 5) (6 + t)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{1085 (t \cdot 6 + t \cdot t + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Перенесем $6$ влево от $t$ .

$\frac{\frac{1085 (6 \cdot t + t \cdot t + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Перенесем $6$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + 6 \cdot h + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.4

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $6 t$ и $5 t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + (- t - 1 \cdot 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + (- t - 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Развернем $(- t - 5) (6 + t + h)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - t \cdot 6 - t \cdot t - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t \cdot t - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - (t \cdot t) - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t^{2} - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.3

Умножим $- 5$ на $6$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t^{2} - t h - 30 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $5 t$ из $- 6 t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - t^{2} - t h - 30 - 11 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Вычтем $11 t$ из $11 t$ .

$\frac{\frac{1085 (t^{2} + 6 h + h t + 30 - t^{2} - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 + 0 - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Добавим $6 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Добавим $6 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 - t h - 30 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.14

Вычтем $5 h$ из $6 h$ .

$\frac{\frac{1085 (h + h t + 30 - t h - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.15

Вычтем $t h$ из $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.15.1

Изменим порядок $h$ и $t$ .

$\frac{\frac{1085 (h + t h - t h + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.15.2

Вычтем $t h$ из $t h$ .

$\frac{\frac{1085 (h + 0 + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.16

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{\frac{1085 (h + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.17

Вычтем $30$ из $30$ .

$\frac{\frac{1085 (h + 0)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.18

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{\frac{1085 h}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1085 h}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $1085 h$ .

$\frac{h \cdot 1085}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot 1085}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1085}{(6 + t) (6 + t + h)}$

Этап 5