Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{2} - 4$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot ((x + h) (x + h)) - 4$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) - 4$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Этап 3.1.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Этап 3.1.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{3} (2 h x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot (h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Этап 3.1.2.1.5.2.2

Объединим $h$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot 2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Этап 3.1.2.1.5.2.3

Объединим $\frac{h \cdot 2}{3}$ и $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Этап 3.1.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Этап 3.1.2.1.6

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $\frac{2 h x}{3}$ и $\frac{h^{2}}{3}$ .

$\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - (\frac{x^{2}}{3} - 4)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} - - 4}{h}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} + 4}{h}$

Этап 5.1.3

Вычтем $\frac{x^{2}}{3}$ из $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0 - 4 + 4}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $\frac{h^{2}}{3}$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} - 4 + 4}{h}$

Этап 5.1.5

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}}{h}$

Этап 5.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{h^{2} + 2 h x}{3}}{h}$

Этап 5.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{h^{2} + 2 x h}{3}}{h}$

Этап 5.1.8.2

Изменим порядок $h^{2}$ и $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{3}}{h}$

Этап 5.1.9

Вынесем множитель $h$ из $2 x h + h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{3}}{h}$

Этап 5.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{3}}{h}$

Этап 5.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{3}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + h}{3}$

Этап 6