Основы мат. анализа Примеры

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 1

Запишем $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ в виде функции.

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = r + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $r$ на $r + h$ .

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Этап 3.1.2

Окончательный ответ: $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2

Перепишем $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.5

Вычтем $4 π r^{3}$ из $4 π r^{3}$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.6

Добавим $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ и $0$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.7

Вынесем множитель $4 π h$ из $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1

Вынесем множитель $4 π h$ из $12 π r^{2} h$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.7.2

Вынесем множитель $4 π h$ из $12 π r h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.7.3

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h^{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.7.4

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Этап 5.1.2.7.5

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Объединим.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

Этап 5.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

Этап 6