Основы мат. анализа Примеры

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 4}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(t + h)}^{2}$ в виде $(t + h) (t + h)$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 4}$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(t + h) (t + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 4}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 4}$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 4}$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 4}$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 4})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ на $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ на $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (t + h) (t^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $0.2$ из $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.4

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(t + h) (t^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 4) + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Перенесем $4$ влево от $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Перенесем $4$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Вычтем $t^{3}$ из $t^{3}$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $4 t$ и $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $4 t$ из $4 t$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $2 t^{2} h$ из $h t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.11.1

Изменим порядок $h$ и $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.11.2

Вычтем $2 t^{2} h$ из $t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Вынесем множитель $h$ из $- t^{2} h + 4 h - t h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.12.1

Вынесем множитель $h$ из $- t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.2

Вынесем множитель $h$ из $4 h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.3

Вынесем множитель $h$ из $- t h^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- t^{2}) + h \cdot 4$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- t^{2} + 4) + h (- t h)$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.5

Умножим $0.2$ на $1$ .

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{2}) - 1 (- 4)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- t h$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{2} - 4) - (t h)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Перепишем $- (t^{2} - 4 + t h)$ в виде $- 1 (t^{2} - 4 + t h)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 4.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{0.2 (t^{2} - 4 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Этап 5