Основы мат. анализа Примеры

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 1

Запишем $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ в виде функции.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = r + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $r$ на $r + h$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Этап 3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Этап 3.1.2.3

Избавимся от скобок.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Этап 3.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Этап 3.1.2.4.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Этап 3.1.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Умножим $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.1.2

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.3.2

Сократим общий множитель.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.3.3

Перепишем это выражение.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Этап 3.1.2.6.4

Умножим $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.4.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Этап 3.1.2.6.4.2

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Этап 3.1.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Этап 3.1.2.7.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Этап 3.1.2.8

Окончательный ответ: $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Этап 3.2.2

Перенесем $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Этап 3.2.3

Перенесем $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 3.2.4

Перенесем $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 3.2.5

Изменим порядок $4 π h^{2} r$ и $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $\frac{4 π r^{3}}{3}$ из $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Этап 5.1.2

Добавим $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4 π h$ из $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $4 π h$ из $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Этап 5.1.3.2

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Этап 5.1.3.3

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Этап 5.1.3.4

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Этап 5.1.3.5

Вынесем множитель $4 π h$ из $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.4

Чтобы записать $h r$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.5

Объединим $h r$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + h r \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.7.1.2

Вынесем множитель $h$ из $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.7.1.3

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.7.2

Перенесем $3$ влево от $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Этап 5.1.8

Чтобы записать $r^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Этап 5.1.9

Объединим $r^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Этап 5.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Этап 5.1.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Этап 5.1.11.2

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Этап 5.1.11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Этап 5.1.11.4

Перенесем $3$ влево от $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Этап 5.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1

Объединим $4$ и $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Этап 5.1.12.2

Объединим $π$ и $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Этап 5.1.12.3

Объединим $h$ и $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Этап 5.1.13

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Этап 5.1.14

Перенесем $4$ влево от $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Объединим.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Этап 5.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Этап 6