Основы мат. анализа Примеры

${(t + 3)}^{2} + 5$

Этап 1

Запишем ${(t + 3)}^{2} + 5$ в виде функции.

$f (t) = {(t + 3)}^{2} + 5$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$f (t + h) = {((t + h) + 3)}^{2} + 5$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(t + h + 3)}^{2}$ в виде $(t + h + 3) (t + h + 3)$ .

$f (t + h) = (t + h + 3) (t + h + 3) + 5$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(t + h + 3) (t + h + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (t + h) = t \cdot t + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Умножим $t$ на $t$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Этап 3.1.2.1.3.2

Перенесем $3$ влево от $t$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Этап 3.1.2.1.3.3

Умножим $h$ на $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Этап 3.1.2.1.3.4

Перенесем $3$ влево от $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 \cdot h + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Этап 3.1.2.1.3.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Этап 3.1.2.1.4

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + h t + h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Этап 3.1.2.1.4.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Этап 3.1.2.1.5

Добавим $3 t$ и $3 t$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 3 h + 6 t + 3 h + 9 + 5$

Этап 3.1.2.1.6

Добавим $3 h$ и $3 h$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 9 + 5$

Этап 3.1.2.2

Добавим $9$ и $5$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$ .

$t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$2 h t + h^{2} + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $2 h t$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$f (t) = t^{2} + 6 t + 14$

$f (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$f (t) = t^{2} + 6 t + 14$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - (t^{2} + 6 t + 14)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - (6 t) - 1 \cdot 14}{h}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 1 \cdot 14}{h}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 1$ на $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 14}{h}$

Этап 5.1.3

Вычтем $t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 + 0 - 6 t - 14}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 - 6 t - 14}{h}$

Этап 5.1.5

Вычтем $6 t$ из $6 t$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0 + 14 - 14}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 14 - 14}{h}$

Этап 5.1.7

Вычтем $14$ из $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0}{h}$

Этап 5.1.8

Добавим $h^{2} + 2 h t + 6 h$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h}{h}$

Этап 5.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h t + 6 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h t + 6 h}{h}$

Этап 5.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h t$ .

$\frac{h (h) + h (2 t) + 6 h}{h}$

Этап 5.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $6 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 t) + h \cdot 6}{h}$

Этап 5.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 t)$ .

$\frac{h (h + 2 t) + h \cdot 6}{h}$

Этап 5.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 t) + h \cdot 6$ .

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $h + 2 t + 6$ на $1$ .

$h + 2 t + 6$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 t$ .

$2 t + h + 6$

Этап 6