Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2} + 2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) (x + h) + 2}$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{3}{x (x + h) + h (x + h) + 2}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h (x + h) + 2}$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2}$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2}$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2}$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2}$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} - (\frac{3}{x^{2} + 2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{x^{2} + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ на $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{3}{x^{2} + 2}$ на $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (0 + 2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{\frac{3 (2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2} + 0)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- 2 h x - h^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x - h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) + h (- h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.3

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x - h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

$\frac{\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - h$ .

$\frac{3 (- (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Этап 4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перепишем $- (2 x + h)$ в виде $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Этап 4.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (2 x + h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Этап 5