Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель ${(x + h)}^{2}$ из ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем множитель ${(x + h)}^{2}$ из ${(x + h)}^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем множитель ${(x + h)}^{2}$ из $- {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем множитель ${(x + h)}^{2}$ из ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель ${(x + h)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{x + h - 1}$ .

$- \frac{1}{x + h - 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- - \frac{1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + h - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $\frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Этап 4.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $\frac{1}{x + h - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6.6

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 5