Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + x - 1$ ; $[- 2, - \frac{7}{4}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} + x - 1$ в виде уравнения.

$y = x^{2} + x - 1$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (- \frac{7}{4}) - f (- 2)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = x^{2} + x - 1$ в $f (- \frac{7}{4})$ и $f (- 2)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Избавимся от скобок.

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

Этап 3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{- \frac{7}{4} - (- 2)}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{- \frac{7}{4} - (- 2)}$

Этап 3.2.2

Объединим.

$\frac{4 ({(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4} - (- 2))}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (- \frac{7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.4

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{4}$ в числитель.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{4}$ в числитель.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (\frac{- 7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (\frac{- 7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{7}{4}$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{4})}^{2}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.1.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{4}$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4 (1 \frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{7^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4^{2}} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4 \cdot 4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4 \cdot 4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{7^{2}}{4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.7

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- (4 - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.8

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- (2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.9

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- 1 \cdot 1)}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.10

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 \cdot - 1}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.10.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.11

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{49}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.12

Объединим $- 7$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{49 - 7 \cdot 4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.14.1

Умножим $- 7$ на $4$ .

$\frac{\frac{49 - 28}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.14.2

Вычтем $28$ из $49$ .

$\frac{\frac{21}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.15

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{21}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.16

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{21}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{21 - 4 \cdot 4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.18.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{\frac{21 - 16}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.18.2

Вычтем $16$ из $21$ .

$\frac{\frac{5}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.19

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{5}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.20

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{5}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 - 4 \cdot 4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.22.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{\frac{5 - 16}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.22.2

Вычтем $16$ из $5$ .

$\frac{\frac{- 11}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.5.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $4 (- (- 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 4 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 8}$

Этап 3.6.2

Добавим $- 7$ и $8$ .

$\frac{- \frac{11}{4}}{1}$

Этап 3.7

Разделим $- \frac{11}{4}$ на $1$ .

$- \frac{11}{4}$