Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + {(x + h)}^{2} - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + {(x + h)}^{2} - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + (x + h) (x + h) - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x (x + h) + h (x + h) - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x \cdot x + x h + h (x + h) - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + h x + h x + h^{2} - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 (x + h) - 7$

Этап 3.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

Этап 3.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

Этап 3.2.3

Перенесем $- 8 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 h - 8 x - 7$

Этап 3.2.4

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h x + h^{2} + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

Этап 3.2.5

Перенесем $2 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

Этап 3.2.6

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

Этап 3.2.7

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

Этап 3.2.8

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - (x^{3} + x^{2} - 8 x - 7)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{3} - x^{2} - (- 8 x) - - 7}{h}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{3} - x^{2} + 8 x - - 7}{h}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{3} - x^{2} + 8 x + 7}{h}$

Этап 5.1.3

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 + 0 - x^{2} + 8 x + 7}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{2} + 8 x + 7}{h}$

Этап 5.1.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h - 8 x - 7 + 0 + 8 x + 7}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h - 8 x - 7 + 8 x + 7}{h}$

Этап 5.1.7

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h + 0 - 7 + 7}{h}$

Этап 5.1.8

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h - 7 + 7}{h}$

Этап 5.1.9

Добавим $- 7$ и $7$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h + 0}{h}$

Этап 5.1.10

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

Этап 5.1.11

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

Этап 5.1.11.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

Этап 5.1.11.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

Этап 5.1.11.4

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + 2 h x - 8 h}{h}$

Этап 5.1.11.5

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) - 8 h}{h}$

Этап 5.1.11.6

Вынесем множитель $h$ из $- 8 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

Этап 5.1.11.7

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

Этап 5.1.11.8

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

Этап 5.1.11.9

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

Этап 5.1.11.10

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x) + h \cdot - 8}{h}$

Этап 5.1.11.11

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x) + h \cdot - 8$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8$ на $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8$

Этап 5.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + h + 2 x - 8$

Этап 5.2.2.2

Перенесем $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2 x + h - 8$

Этап 5.2.2.3

Перенесем $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2 x + h - 8$

Этап 5.2.2.4

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2 x + h - 8$

Этап 6