Основы мат. анализа Примеры

$y = {(1.06)}^{8 t}$

Этап 1

Запишем $y = {(1.06)}^{8 t}$ в виде функции.

$f (t) = {(1.06)}^{8 t}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$f (t + h) = {(1.06)}^{8 (t + h)}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = {1.06}^{8 t + 8 h}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: ${1.06}^{8 t + 8 h}$ .

${1.06}^{8 t + 8 h}$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (t + h) = {1.06}^{8 t + 8 h}$

$f (t) = {1.06}^{8 t}$

$f (t + h) = {1.06}^{8 t + 8 h}$

$f (t) = {1.06}^{8 t}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{{1.06}^{8 t + 8 h} - ({1.06}^{8 t})}{h}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${1.06}^{8 t + 8 h}$ в виде ${({1.06}^{4 t + 4 h})}^{2}$ .

$\frac{{({1.06}^{4 t + 4 h})}^{2} - {1.06}^{8 t}}{h}$

Этап 5.2

Перепишем ${1.06}^{8 t}$ в виде ${({1.06}^{4 t})}^{2}$ .

$\frac{{({1.06}^{4 t + 4 h})}^{2} - {({1.06}^{4 t})}^{2}}{h}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {1.06}^{4 t + 4 h}$ и $b = {1.06}^{4 t}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({1.06}^{4 t + 4 h} - {1.06}^{4 t})}{h}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем ${1.06}^{4 t + 4 h}$ в виде ${({1.06}^{2 t + 2 h})}^{2}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({({1.06}^{2 t + 2 h})}^{2} - {1.06}^{4 t})}{h}$

Этап 5.4.2

Перепишем ${1.06}^{4 t}$ в виде ${({1.06}^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({({1.06}^{2 t + 2 h})}^{2} - {({1.06}^{2 t})}^{2})}{h}$

Этап 5.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {1.06}^{2 t + 2 h}$ и $b = {1.06}^{2 t}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({1.06}^{2 t + 2 h} - {1.06}^{2 t}))}{h}$

Этап 5.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Перепишем ${1.06}^{2 t + 2 h}$ в виде ${({1.06}^{t + h})}^{2}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({({1.06}^{t + h})}^{2} - {1.06}^{2 t}))}{h}$

Этап 5.4.4.2

Перепишем ${1.06}^{2 t}$ в виде ${({1.06}^{t})}^{2}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({({1.06}^{t + h})}^{2} - {({1.06}^{t})}^{2}))}{h}$

Этап 5.4.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {1.06}^{t + h}$ и $b = {1.06}^{t}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({1.06}^{t + h} + {1.06}^{t}) ({1.06}^{t + h} - {1.06}^{t}))}{h}$

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({1.06}^{t + h} + {1.06}^{t}) ({1.06}^{t + h} - {1.06}^{t})}{h}$

Этап 6