Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Объединим $7$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- ((x + h) (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- (x (x + h) + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.6

Умножим $7$ на $4$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - (2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (2 h x)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2}) + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 28}{4}$

Этап 2.1.2.4.6

Перепишем $28$ в виде $- 1 (- 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 \cdot - 28}{4}$

Этап 2.1.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 (- 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Этап 2.1.2.4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.8.1

Перепишем $- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ в виде $- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Этап 2.1.2.4.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Этап 2.1.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - (- \frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- - \frac{x^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + 1 \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $\frac{x^{2}}{4}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28) + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 28$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.5.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 + 0}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $- 2 h x - h^{2} + 28$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7}{h}$

Этап 4.1.6

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

Этап 4.1.7

Объединим $- 7$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Этап 4.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Этап 4.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Умножим $- 7$ на $4$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вычтем $28$ из $28$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 0}{4}}{h}$

Этап 4.1.9.3

Добавим $- 2 h x - h^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2}}{4}}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x - h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.4.1

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x) - h^{2}}{4}}{h}$

Этап 4.1.9.4.2

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x) + h (- h)}{4}}{h}$

Этап 4.1.9.4.3

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x - h)}{4}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x - h}{4}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - h}{4}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - h$ .

$\frac{- (2 x + h)}{4}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем $- (2 x + h)$ в виде $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{- 1 (2 x + h)}{4}$

Этап 4.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + h}{4}$

Этап 5