Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ ; $[1, \frac{3}{2}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{3}{2}) - f (1)}{(\frac{3}{2}) - (1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = 2 x^{2} - 2 x - 1$ в $f (\frac{3}{2})$ и $f (1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1) - (2 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{(\frac{3}{2}) - (1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{\frac{3}{2} - (1)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{\frac{3}{2} - (1)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2} - (1))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (1))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (1))}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{4 \frac{9}{2^{2}} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 (\frac{9}{4}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (\frac{9}{4}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{9 + 2 (2 (- 1) \frac{3}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 + 2 (2 \cdot - 1 \frac{3}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 + 2 (- 1 \cdot 3) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{9 + 2 \cdot - 3 + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.8

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{9 - 6 + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.10.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 - 2 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.11

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (0 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.12

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- - 1)}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.13

Умножим $2 (- - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 \cdot 1}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.13.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.14

Вычтем $6$ из $9$ .

$\frac{3 - 2 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.15

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.4.16

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{3 + 2 (- (1))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2 (- (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{3 + 2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{3 - 2}$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{1}$

Этап 3.6

Разделим $3$ на $1$ .

$3$