Основы мат. анализа Примеры

$y = 2 x^{2} + 3$

Этап 1

Запишем $y = 2 x^{2} + 3$ в виде функции.

$f (x) = 2 x^{2} + 3$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 3$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + 3$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + 3$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 3$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + 3$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $4 h x$ и $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3$

$f (x) = 2 x^{2} + 3$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3$

$f (x) = 2 x^{2} + 3$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3 - (2 x^{2} + 3)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3 - (2 x^{2}) - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 3}{h}$

Этап 5.1.4

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 0 + 3 - 3}{h}$

Этап 5.1.5

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 - 3}{h}$

Этап 5.1.6

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 0}{h}$

Этап 5.1.7

Добавим $2 h^{2} + 4 h x$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x}{h}$

Этап 5.1.8

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h^{2} + 4 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h^{2}$ .

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x}{h}$

Этап 5.1.8.2

Вынесем множитель $2 h$ из $4 h x$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x)}{h}$

Этап 5.1.8.3

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ .

$\frac{2 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $2 (h + 2 x)$ на $1$ .

$2 (h + 2 x)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 h + 2 (2 x)$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 h + 4 x$

Этап 5.2.3.2

Изменим порядок $2 h$ и $4 x$ .

$4 x + 2 h$

Этап 6