Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \cot (x)$ в виде уравнения.

$y = \cot (x)$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{2 π}{3})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \cot (x)$ в $f (\frac{3 π}{2})$ и $f (\frac{2 π}{3})$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{2 π}{3}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 π}{3}$ в числитель.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 \frac{- 2 π}{3}}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 (2) \frac{- 2 π}{3}}$

Этап 3.3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 \cdot 2 \frac{- 2 π}{3}}$

Этап 3.3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 2 (- 2 π)}$

Этап 3.3.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен в четвертом квадранте.

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.5

$\frac{6 (0 - - \cot (\frac{π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{1}{\sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.9

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 (0 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.9.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $1$ .

$\frac{6 (0 + \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Этап 3.4.10

Добавим $0$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{9 π - 4 π}$

Этап 3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $4 π$ из $9 π$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Этап 3.5.2

Объединим $6$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Этап 3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим выражение $\frac{6 \sqrt{3}}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{5 π}$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{5 π}$

Этап 3.6.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{5 π}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{1}}{5 π}$

Этап 3.6.2

Разделим $2 \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Десятичная форма:

$0.22053155 \dots$