Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ в виде уравнения.

$y = x^{2} + 2 x - 1$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = x^{2} + 2 x - 1$ в $f (- \frac{5}{2})$ и $f (- 3)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.7.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.8

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.10.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.11

Вычтем $6$ из $9$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.12

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.13

Умножим $2 (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.13.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.14

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.15

Объединим $- 10$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.17.1

Умножим $- 10$ на $2$ .

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.17.2

Вычтем $20$ из $25$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.18

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.19

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.21.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.21.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.22

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.23

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.25.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.25.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.4.26

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2 (- (- 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

Этап 3.5.2

Добавим $- 5$ и $6$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

Этап 3.6

Разделим $- \frac{7}{2}$ на $1$ .

$- \frac{7}{2}$