Основы мат. анализа Примеры

$a (t) = \frac{1}{t + 8}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$a (t + h) = \frac{1}{(t + h) + 8}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$a (t + h) = \frac{1}{t + h + 8}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{t + h + 8}$ .

$\frac{1}{t + h + 8}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$a (t + h) = \frac{1}{t + h + 8}$

$a (t) = \frac{1}{t + 8}$

$a (t + h) = \frac{1}{t + h + 8}$

$a (t) = \frac{1}{t + 8}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{a (t + h) - a t}{h} = \frac{\frac{1}{t + h + 8} - (\frac{1}{t + 8})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{t + h + 8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t + 8}{t + 8}$ .

$\frac{\frac{1}{t + h + 8} \cdot \frac{t + 8}{t + 8} - \frac{1}{t + 8}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{t + 8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t + h + 8}{t + h + 8}$ .

$\frac{\frac{1}{t + h + 8} \cdot \frac{t + 8}{t + 8} - \frac{1}{t + 8} \cdot \frac{t + h + 8}{t + h + 8}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(t + h + 8) (t + 8)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{t + h + 8}$ на $\frac{t + 8}{t + 8}$ .

$\frac{\frac{t + 8}{(t + h + 8) (t + 8)} - \frac{1}{t + 8} \cdot \frac{t + h + 8}{t + h + 8}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{t + 8}$ на $\frac{t + h + 8}{t + h + 8}$ .

$\frac{\frac{t + 8}{(t + h + 8) (t + 8)} - \frac{t + h + 8}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(t + h + 8) (t + 8)$ .

$\frac{\frac{t + 8}{(t + 8) (t + h + 8)} - \frac{t + h + 8}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t + 8 - (t + h + 8)}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{t + 8 - (t + h + 8)}{(t + 8) (t + h + 8)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{t + 8 - t - h - 1 \cdot 8}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{\frac{t + 8 - t - h - 8}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{\frac{0 + 8 - h - 8}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $0$ и $8$ .

$\frac{\frac{8 - h - 8}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{\frac{- h + 0}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- h}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{h}{(t + 8) (t + h + 8)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{h}{(t + 8) (t + h + 8)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{(t + 8) (t + h + 8)}$ в числитель.

$\frac{- h}{(t + 8) (t + h + 8)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{(t + 8) (t + h + 8)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 1}{(t + 8) (t + h + 8)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{(t + 8) (t + h + 8)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{(t + 8) (t + h + 8)}$

Этап 5