Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$ on $1$ , $5$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{x}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{1}{x}$ в $f (5)$ и $f (1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{1}{5}) - (\frac{1}{1})}{(5) - (1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{1}}{(5) - (1)}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{5} - 1 \cdot 1}{(5) - (1)}$

Этап 3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{\frac{1}{5} - 1 \cdot 1}{5 - (1)}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} - 1 \cdot 1}{5 - (1)}$

Этап 3.2.2

Объединим.

$\frac{5 (\frac{1}{5} - 1 \cdot 1)}{5 (5 - (1))}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (\frac{1}{5}) + 5 (- 1 \cdot 1)}{5 \cdot 5 + 5 (- (1))}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (\frac{1}{5}) + 5 (- 1 \cdot 1)}{5 \cdot 5 + 5 (- (1))}$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 5 (- 1 \cdot 1)}{5 \cdot 5 + 5 (- (1))}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 5 \cdot - 1}{5 \cdot 5 + 5 (- (1))}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 5}{5 \cdot 5 + 5 (- (1))}$

Этап 3.5.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{- 4}{5 \cdot 5 + 5 (- (1))}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{- 4}{25 + 5 (- (1))}$

Этап 3.6.2

Умножим $5 (- (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 4}{25 + 5 \cdot - 1}$

Этап 3.6.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{25 - 5}$

Этап 3.6.3

Вычтем $5$ из $25$ .

$\frac{- 4}{20}$

Этап 3.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{20}$

Этап 3.7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 5}$

Этап 3.7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 5}$

Этап 3.7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5}$

Этап 3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5}$