Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 5 (x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}) - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 5 (4 x^{3} h) + 5 (6 x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 5 (6 x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.3.2

Умножим $6$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 30 (x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 30 (x^{2} h^{2}) + 20 (x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.5

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 4 (3 x^{2} h) - 4 (3 x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 (x^{2} h) - 4 (3 x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.7.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 (x^{2} h) - 12 (x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.8

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Этап 2.1.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.2.3

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.2.4

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.2.5

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Этап 2.2.6

Перенесем $25 x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.7

Перенесем $- 4 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 12 h x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.9

Перенесем $- 12 h^{2} x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.10

Перенесем $5 x^{4}$ .

$20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.11

Перенесем $20 h x^{3}$ .

$30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.12

Перенесем $30 h^{2} x^{2}$ .

$20 h^{3} x + 5 h^{4} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.2.13

Изменим порядок $20 h^{3} x$ и $5 h^{4}$ .

$5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

$f (x + h) = 5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - (5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - (5 x^{4}) - (- 4 x^{3}) - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} - (- 4 x^{3}) - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x - 1 \cdot 8000}{h}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $8000$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $5 x^{4}$ из $5 x^{4}$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 + 0 + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $5 h^{4}$ и $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 4 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 25 x + 8000 + 0 - 25 x - 8000}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $5 h^{4}$ и $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 25 x + 8000 - 25 x - 8000}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $25 x$ из $25 x$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 0 + 8000 - 8000}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $5 h^{4}$ и $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 8000 - 8000}{h}$

Этап 4.1.9

Вычтем $8000$ из $8000$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 0}{h}$

Этап 4.1.10

Добавим $5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h$ и $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{4}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.2

Вынесем множитель $h$ из $20 h^{3} x$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.3

Вынесем множитель $h$ из $30 h^{2} x^{2}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.4

Вынесем множитель $h$ из $20 h x^{3}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.5

Вынесем множитель $h$ из $- 4 h^{3}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.6

Вынесем множитель $h$ из $- 12 h^{2} x$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.7

Вынесем множитель $h$ из $- 12 h x^{2}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + 25 h}{h}$

Этап 4.1.11.8

Вынесем множитель $h$ из $25 h$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.9

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x)$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.10

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x) + h (30 h x^{2})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.11

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2}) + h (20 x^{3})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.12

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3}) + h (- 4 h^{2})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.13

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2}) + h (- 12 h x)$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.14

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x) + h (- 12 x^{2})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Этап 4.1.11.15

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2}) + h \cdot 25$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$ на $1$ .

$5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h^{2}$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $h$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 x h - 12 x^{2} + 25$

Этап 4.2.2.4

Перенесем $- 4 h^{2}$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 12 x h - 12 x^{2} - 4 h^{2} + 25$

Этап 4.2.2.5

Перенесем $- 12 x h$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Этап 4.2.2.6

Перенесем $5 h^{3}$ .

$20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $20 x h^{2}$ .

$30 x^{2} h + 20 x^{3} + 20 x h^{2} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Этап 4.2.2.8

Изменим порядок $30 x^{2} h$ и $20 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x^{2} h + 20 x h^{2} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Этап 5