Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{2} + 9 x$

Этап 1

Запишем $y = x^{2} + 9 x$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} + 9 x$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 (x + h)$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $9 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 h + 9 x$

Этап 3.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 9 h + 9 x$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 9 h + 9 x$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 9 h + 9 x$

$f (x) = x^{2} + 9 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 9 h + 9 x$

$f (x) = x^{2} + 9 x$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 9 h + 9 x - (x^{2} + 9 x)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 9 h + 9 x - x^{2} - (9 x)}{h}$

Этап 5.1.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 9 h + 9 x - x^{2} - 9 x}{h}$

Этап 5.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 9 h + 9 x + 0 - 9 x}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 9 h + 9 x - 9 x}{h}$

Этап 5.1.5

Вычтем $9 x$ из $9 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 9 h + 0}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $h^{2} + 2 h x + 9 h$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 9 h}{h}$

Этап 5.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x + 9 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 9 h}{h}$

Этап 5.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 9 h}{h}$

Этап 5.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $9 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 9}{h}$

Этап 5.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 9}{h}$

Этап 5.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot 9$ .

$\frac{h (h + 2 x + 9)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x + 9)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $h + 2 x + 9$ на $1$ .

$h + 2 x + 9$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$2 x + h + 9$

Этап 6