Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{2} - 2$

Этап 1

Запишем $3 x^{2} - 2$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{2} - 2$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} - 2$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) - 2$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) - 2$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 2$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 2$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 2$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 2$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 2$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 2$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} - 2$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} - 2$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} - 2$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} - 2$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} - 2$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $6 h x$ и $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2$

$f (x) = 3 x^{2} - 2$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2$

$f (x) = 3 x^{2} - 2$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - (3 x^{2} - 2)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - (3 x^{2}) - - 2}{h}$

Этап 5.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - 3 x^{2} - - 2}{h}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - 3 x^{2} + 2}{h}$

Этап 5.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0 - 2 + 2}{h}$

Этап 5.1.5

Добавим $3 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x - 2 + 2}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Этап 5.1.7

Добавим $3 h^{2} + 6 h x$ и $0$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Этап 5.1.8

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2} + 6 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2}$ .

$\frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Этап 5.1.8.2

Вынесем множитель $3 h$ из $6 h x$ .

$\frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Этап 5.1.8.3

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $3 (h + 2 x)$ на $1$ .

$3 (h + 2 x)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 h + 3 (2 x)$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$3 h + 6 x$

Этап 5.2.3.2

Изменим порядок $3 h$ и $6 x$ .

$6 x + 3 h$

Этап 6