Основы мат. анализа Примеры

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

Этап 1

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (3) - f (2)}{(3) - (2)}$

Этап 1.2

Подставим уравнение $y = \sqrt{x^{3} + 1}$ в $f (3)$ и $f (2)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\sqrt{{(3)}^{3} + 1}) - (\sqrt{{(2)}^{3} + 1})}{(3) - (2)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 1} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.2

Добавим $27$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{28} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.3

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$\frac{\sqrt{4 (7)} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 7} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{8 + 1}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.6

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{9}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{3^{2}}}{3 - (2)}$

Этап 2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{7} - 1 \cdot 3}{3 - (2)}$

Этап 2.1.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{7} - 3}{3 - (2)}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{7} - 3}{3 - 2}$

Этап 2.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2 \sqrt{7} - 3}{1}$

Этап 2.3

Разделим $2 \sqrt{7} - 3$ на $1$ .

$2 \sqrt{7} - 3$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{7} - 3$

Десятичная форма:

$2.29150262 \dots$